Số phức và những dạng toán về số phức là trong số những nội dung mà nhiều bạn cảm thấy chúng tương đối trừu tượng cùng khá cạnh tranh hiểu, một phần nguyên nhân là họ đã quá quen cùng với số thực giữa những năm học trước.

Bạn đang xem: Các dạng bài tập số phức


Vì vậy, ở nội dung bài viết này vietnamnetjobs.com sẽ khối hệ thống lại những dạng toán về số phức mặt khác hướng dẫn bí quyết giải các dạng bài bác tập này. Trước lúc bắt tay vào giải những dạng bài bác tập số phức, các bạn cũng bắt buộc nhớ những nội dung về triết lý số phức.

I. Kim chỉ nan về Số phức

1. Số phức là gì?

Định nghĩa số phức

- Tập phù hợp số phức: 

*

- Số phức (dạng đại số):

 (, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị chức năng ảo i2 = -1)

♦ z là số thực ⇔ phần ảo của z bởi 0 (b = 0).

♦ z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0).

♦ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

♦ 2 số phức bằng nhau: 

*
*

2. Màn trình diễn hình học của số phức

- Số phức: , (được màn biểu diễn bởi điểm M(a,b) xuất xắc bởi 

*
 trong mặt phẳng Oxy (mp phức).
*

3. Phép cộng, trừ số phức

- mang đến 2 số phức: , lúc đó:

*
*

*
*

- Số đối của:  là 

*

- Nếu 

*
 biểu diễn z, 
*
 biểu diễn z" thì 
*
 biểu diễn 
*
 và 
*
 biểu diễn 
*
.

4. Phép nhân 2 số phức

- mang đến 2 số phức: , khi đó:

*
 
*

*

5. Số phức liên hợp

- Số phức liên hợp của số phức 

*
 là 
*

♦ 

*
*
*
*
*

♦ z là số thực ⇔

*

♦ z là số thuần ảo: 

*

6. Phép phân chia số phức khác 0

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

7. Mô-đun của số phức

- đến số phức: , thì:

*

♦ 

*
*

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

8. Căn bậc 2 của số phức

♦ 

*
 là căn bậc 2 của số phức 
*
 
*

♦ w = 0 tất cả đúng 1 căn bậc 2 là z = 0

♦ w≠ 0 bao gồm đúng 2 cặn bậc 2 đối nhau

♦ 2 căn bậc 2 của a > 0 là 

*

♦ 2 căn bậc 2 của a 9. Phương trình bậc 2 của số phức

- mang lại phương trình bậc 2 số phức bao gồm dạng: Az2 + Bz + C = 0, (*) (A,B,C là các số phức mang đến trước, A≠0).

- lúc đó: Δ = B2 - 4AC

- Δ ≠ 0, phương trình (*) bao gồm 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Δ = 0, phương trình (*) có 1 nghiệm kép: 

*

* Chú ý: Nếu 

*
 là 1 nghiệm của (*) thì 
*
 cũng là một trong những nghiệm của (*).

10. Dạng lượng giác của số phức

• z = r(cosφ + isinφ), r > 0 là dạng lượng giác của  (z≠0).

*

• φ là 1 acgumen của z, φ = (Ox,OM)

• 

*
,
*

11. Nhân phân tách số phức dưới dạng lượng giác

- mang lại z = r(cosφ + isinφ) và z" = r"(cosφ" + isinφ")

• 

*

*

12. Bí quyết Moivre (Moa-vrơ).

*
*

• 

*

13. Căn bậc 2 của số phức bên dưới dạng lượng giác

• cho z = r(cosφ + isinφ), r > 0 tất cả căn bậc 2 là:

 

*
 và 
*
*

• Mở rộng: z = r(cosφ + isinφ), r > 0 có n căn bậc n là:

 

*
*

II. Các dạng toán về Số phức và bí quyết giải

Dạng 1: những phép tính về số phức

* phương pháp giải: Vận dụng các công thức Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Luỹ vượt và tính chất phép toán của số phức.

- Chú ý: Khi thống kê giám sát các số thức rất có thể sử dụng hằng đẳng thức như số thực như bình phương của tổng, lập phương của tổng giỏi hiệu 2 số phức,...

° Ví dụ 1: cho số phức 

*
 Tính các số phức sau: 
*

° Lời giải:

+) Ta có: 

*

 +) Ta có: 

*
 
*

 

*
*

*
 
*

+) Ta có: 1 + z + z2 

*

* Tương tự: Cho số phức 

*
, hãy tính: 1 + z + z2

- Ta có:

*

*
*

° Ví dụ 2: Tính tổng sau:

a) K = 1 + i + i2 + i3 + ... + i2009

b) M = 

*

c) N = (1 - i)100

° Lời giải:

a) Ta có: 1 - i2010 = (1 - i)(1 + i + i2 + i3 +...+ i2009)

 Mà 1 - i2010 = 1 - (i2)1005 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.

⇒ K = 1 + i + i2 + i3 +...+ i2009 =

*
*

b) M là tổng của 10 số hạng trước tiên của 1 cấp số nhân với số hạng thứ nhất là u1 = 1, bội q = (1 + i)2 = 2i. Ta có:

 

*
 
*

c)

*
 
*

° Ví dụ 3: cho 2 số phức z1, z2 thoả 

*
,
*
 tính 
*

° Lời giải:

- Đặt 

*

- từ giải thiết ta có: 

*

⇒ 2(a1b1 + a2b2) = 1

⇒ (a1 - a2)2 + (b1 - b2)2 = 1

⇒ |z1 - z2| = 1.

 Dạng 2: Tìm số phức thoả đk cho trước (giải phương trình số phức)

* phương thức giải: Vận dụng các tính chất của số phức, các phép thay đổi để giải quyết bài toán.

° ví dụ như 1: search số phức z thoả mãn

a)

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
 
*
*

b) 

*
*
 (*)

 mà 

*

 thế x = 1 vào (*) ta được y = ±1.

 Vậy số phức nên tìm là 1 + i với 1 - i.

° Ví dụ 2: Tìm số phức z thoả mãn

a)  

b) 

*
, cùng z2 là số thuần ảo.

° Lời giải:

a) 

- Ta có: 

*

+) TH1:

*

+) TH2: 

*

 

*

 Dạng 3: xác định phần thực phần ảo, tra cứu đối số, nghịch hòn đảo module, liên hợp của số phức và màn trình diễn hình học của số phức

* phương thức giải: Dạng này chia làm nhiều loại bài toán liên quan tới đặc thù của số phức.

♦ loại 1: tìm kiếm phần thực phần ảo của số phức

- cách giải: biến đổi số phức về dạng z = a + bi, suy ra phần thực là a, phần ảo là b.

° Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i)

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3

c) 

° Lời giải:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i) = (2 - 3) + (1 - 4 + 5)i = -1 + 2i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là -1; phần ảo là 2.

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3 = (-1 + i3 + 3i - 3i2) - 8i3 = (-1 - i + 3i + 3) + 8i = 2 + 10i

⇒ Vậy số phức đã cho bao gồm phần thực là 2; phần ảo là 10.

c)  

*
 
*

 

*
 
*

° Ví dụ 2: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) u = z1 - 2z2 với z1 = 1 + 2i; z2 = 2 - 3i

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i

° Lời giải:

a) u = z1 - 2z2 = (1 + 2i) - 2(2 - 3i) = (1 - 4) + (2 + 6)i = -3 + 8i

⇒ Vậy số phức vẫn cho tất cả phần thực là -3; phần ảo là 8.

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i = (2 + 5i)(3 - 4i) = (6 - 8i + 15i - 20i2) = 26 + 7i

⇒ Vậy số phức đã cho gồm phần thực là 26; phần ảo là 7.

♦ loại 2: biểu diễn hình học của số phức

- bí quyết giải: thực hiện điểm M(a;b) màn biểu diễn số phức z cùng bề mặt phẳng Oxy

° Ví dụ 1: Trong khía cạnh phẳng toạ độ (hình vẽ dưới), số phức z = 3 - 4i được biểu diễn bởi điểm nào trong những điểm A, B, C, D?

*
° Lời giải:

- Đáp án: Điểm D(3;-4) là trình diễn hình học của số phức z=3-4i

° Ví dụ 2: Số phức như thế nào có màn trình diễn hình học là toạ độ điểm M như hình sau:

*
° Lời giải:

- Điểm M(-2;1) là màn biểu diễn hình học tập của số phức z=-2+i

♦ các loại 3: Tính Module của số phức

- phương pháp giải: thay đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ mô-đun là 

° Ví dụ 1: kiếm tìm mô-đun của số phức sau: 

° Lời giải:

- bao gồm

*
 = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i

⇒  

*

° Ví dụ 2: Cho số phức z vừa lòng

*
, tìm mô-đun của số phức 
*

° Lời giải:

- Ta có: 

*

 

*

 

*

♦ nhiều loại 4: tra cứu số đối của số phức

- phương pháp giải: đổi khác số phức về dạng z = a + bi ⇒ đối số của z là -z = -a - bi

° Ví dụ: Tìm số đối của số phức sau:

a)

b) 

° Lời giải: 

a) 

*

b) 

*
 
*

♦ nhiều loại 5: search số phức phối hợp của số phức z

- biện pháp giải: chuyển đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ số phức liên hợp của z là 

*

° Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức sau: 

*

° Lời giải: 

- Ta có: 

*
 
*

⇒ Số phức liên hợp của z là: 

*

° Ví dụ 2: Cho z = a+ bi tìm số phức liên hợp của z cùng giải phương trình 

*
.

Xem thêm: Hotgirl Bà Tưng Bikini Với Hình Ảnh Cực Lôi Cuốn, Hấp Dẫn, Hình Ảnh Bà Tưng Khoe Thân Sexy Nóng Bỏng

° Lời giải: 

- Ta có 

*
*

- khi đó: 

*

- Giải hệ này ta được các nghiệm

*

♦ các loại 6: kiếm tìm số phức nghịch đảo của số phức

- cách giải: áp dụng công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm nghịch đảo của số phức sau:

a)

b)  

° Lời giải: 

a) 

- Ta có:

*
*

*

b) 

- Ta có:

*
,
*

*

Loại 7: Tìm các số thực lúc 2 số phức bằng nhau.

- phương pháp giải: thực hiện công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm các số nguyên x và y thế nào cho z = x + yi thỏa mãn nhu cầu z3 = 18 + 26i

° Lời giải: 

- Ta có: 

*

*

- Giải phương trình trên bằng phương pháp đặt y = tx (x≠0) ta được 

*

⇒ z = 3+ i

 Dạng 4: Tìm quỹ tích số phức (tập hợp những điểm) thoả mãn điều kiện cho trước.

* phương thức giải:

♦ một số loại 1: Số phức z mãn nguyện về độ lâu năm (module) khi ấy ta sử dụng công thức 

♦ các loại 2: Số phức z là số thực (âm hoặc dương), lúc ấy ta thực hiện kết quả

 - Để z là số thực ⇔ b=0

 - Đẻ z là số thực âm ⇔ a 0 và b = 0.

 - Để z là số thuần ảo ⇔ a = 0.

° Ví dụ : Tìm tập đúng theo điểm M biểu diễn số phức z thoả

a) 

*
 có phần thực = 3

b) 

*
 là số thực

c) 

*

° Lời giải: 

a) Gọi điểm M(x;y) ta có:

 

*

 

*

 Với 

*

- Theo bài xích ra,

 

*

- cùng với x ≠ 0 cùng y≠ 2 ta có:

*

⇒ Vậy tập hòa hợp điểm M là con đường tròn tâm 

*
 bán kính 
*

b) call N là điểm biểu diễn số phức 

*

*
 là số thực ⇔ 
*
 song tuy nhiên với Ox

- Vậy quỹ tích của M là mặt đường thẳng qua N và tuy vậy song với Ox, chính là đường thẳng y = -3.

c) gọi I là vấn đề biểu diễn của số phức 

*

- khi đó: 

*

- Vậy quỹ tích của M là con đường tròn trung tâm I(1;-2) bán kính R = 1.

 Dạng 5: Chứng minh những biểu thức về số phức

* cách thức giải: Vận dụng những phép toán về số phức (cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, mô-đun).

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả điều kiện . Chứng minh 

*

° Lời giải: 

- Ta có:  

*

 hay 

*
(1)

- Đặt z=x+yi, với x,y ∈ R, trường đoản cú (1) ta có:

 

*
 
*

*
 
*

*
*

*
 (đpcm).

° Ví dụ 2: Cho 2 số phức z1 cùng z2 , chứng minh rằng:

a) 

*

b) 

*

° Lời giải: 

a) Ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*

⇒ Vậy VT=VP (đpcm).

b) Ta có:

 

*

 

*

 

*

  (1)

- phương diện khác:

 

*
 
*

Vì 

*
 nên 
*
(2)

- trường đoản cú (1) cùng (2) tất cả VT=VP (đpcm)

 Dạng 6: Căn bậc 2 của số phức và phương trình bậc 2

* phương pháp giải:

° Cho số phức: z = a + bi, số phức w = x + yi, được gọi là căn bậc 2 của số phức z nếu như w2 = z xuất xắc (x + yi)2 = a + bi.

- giữ ý:

♦ khi b = 0 thì z = a, ta tất cả 2 ngôi trường hợp đơn giản dễ dàng sạ:

 ◊ TH1: a > 0 ⇒ 

*

 ◊ TH1: a 2 = a + bi, hay x2 - y2 + 2xyi = a + bi 

*
, giải hệ này ta được x,y.

° Phương trình bậc 2 với thông số phức

- Là phương trình bao gồm dạng: az2 + bz + c = 0, trong số đó a, b, c là những số phức a≠0

- phương pháp giải: Xét biệt thức 

*
.

 » Nếu Δ=0 phương trình bao gồm nghiệp kép: 

*

 » Nếu Δ≠0 phương trình bao gồm 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Định lý Vi-ét: gọi z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 khi đó, ta có: 

*
 
*

° Ví dụ 1: Tìm căn bậc 2 của số phức sau:

a) z = 5

b) z = -7

c)

* Lời giải:

a) 

*

b) 

*

c) Gọi 

*
 là căn bậc 2 của số phức , ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*
 
*
 
*

 Vậy hệ pt trên có 2 nghiệm 

*
.

° Ví dụ 2: Trên tập số phức, tìm kiếm m để phương trình bậc hai: z2 + mz + i = 0 (*) có  với z1, z2 là nghiệm của (*).

* Lời giải:

- call m=a+bi cùng với a,b∈R.

- Theo bài toán, ta có:  

*

 Theo Vi-ét: z1+z2=-m, z1z2=i nên:

*
.

- Vậy ta gồm hệ: 

*

⇒ m=1-i hoặc m=-1+i.

° Ví dụ 3: Giải phương trình sau bên trên tập số phức:

a) z2 - 2z + 17 = 0

b) z2 + (2i+1)z + 1 - 5i = 0

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có: z2 - 2z + 17 = 0 ⇔ z2 - 2z + 1 = -16 ⇔ (z + 1)2 = 16i2 

⇔ (z + 1)2 = (4i)2 nên phương trình bao gồm 2 nghiệm phức: z1 = -1-4i; z2 = -1+4i

b) Ta có: 

*
 
*
 
*

⇒ phương trình đã cho tất cả 2 nghiệm z1=1+i; z2=-2-3i.

 Dạng 7: Phương trình quy về phương trình bậc 2

* phương thức giải: Đặt ẩn phụ và mang đến phương trình bậc 2 tính Δ.

° Ví dụ 1: Giải phương trình phức sau: 

*

* Lời giải:

- dìm thấy, z=0 không phải nghiệm của phương trình nên chia 2 vế đến z2, ta được: 

*

*

*

- Đặt 

*
, thi (*) trở thành: 
*

*
 
*

*
 hoặc 
*

- cùng với

*
 
*
 

*
 hoặc
*

- với

*
*

 

*
 hoặc 
*

- Vậy phương trình (*) tất cả 4 nghiệm: 

*

° Ví dụ 2: Giải các phương trình phức sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

e) 

*

* Lời giải:

a) Đặt t = z2, khi đó pt trở thành: 

 

*

- Với 

*

- Với 

*

b) nhận thấy z=0 không phải là nghiệm của phương trình đề nghị chia 2 vế pt cho z2 ta được:

 

*

*

*
 (*)

- Đặt 

*
, lúc ấy pt (*) trở thành: 
*
 
*
 hoặc 
*

- Với 

*
 và 
*

- Với 

*
hoặc 
*

c) Đáp án: 

*

d) Đáp án: 

*
*

 Dạng 8: Dạng lượng giác của số phức

* phương pháp giải:

° Công thức De - Moivre: Là công thức căn nguyên cho hàng loạt công thức quan trọng đặc biệt khác như phép luỹ thừa, khai số mệnh phức, phương pháp Euler.

- công thức 1: 

*

- bí quyết 2: 

*

- Số phức z=a+bi ta có: 

*

*
,

với 

*
 và góc φ được call là argument của z ký hiệu là arg(z). Ngược lại với phép luỹ quá ta tất cả phép khai căn.

° Ví dụ 1: Viết những số phức sau bên dưới dạng lượng giác, từ đó hãy viết dạng đại số của z2012

a) 

*

b) 

*

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có:

 

*
 
*
*

*

- Vậy 

*

*
 
*

- Vậy z2012=-23018

b) Ta có:

 

*
*

*
*
*

c) Ta có:

 

*
 
*
*

*

*

 

*

 

*

° Ví dụ 2: Gọi z1, z2 là nghiệp của phương trình: 

*
, tính quý hiếm của biểu thức: Q=z12012 + z22012

* Lời giải:

- Ta có: 

*

- Lại có: 

*
 và 
*
 
*

⇒ Phương trình sẽ cho gồm 2 nghiệm: 

*

- mặt khác 

*

*

*

*

° Ví dụ 3: Giải phương trình: 

*

* Lời giải:

- Đặt 

*
 thì 
*

- Phương trình đã mang đến trở thành: 

*

 

*
 (*)

- bởi vì z=-1 chưa hẳn là nghiệm của phương trình yêu cầu nhân 2 vế (*) với (z+1) ta được:

*
 
*

*

- Nên 

*
 vì z≠-1 nên không nhận giá trị k=3.

- Vậy phương trình đang cho tất cả nghiệm: 

*
 
*
 
*
 
*
 
*
 
*
 với 
*
.

 Dạng 9: Tìm cực trị của số phức

* phương pháp giải: Vận dụng kỹ năng tìm cực trị

° ví dụ như 1: Cho số phức z thoả mãn 

*
, tìm số phức z bao gồm modul bé dại nhất.

* Lời giải:

- Đặt 

*
, lúc đó 
*

*
. Bởi vì vậy các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn câu hỏi nằm trê tuyến phố tròn trung khu I(4;-3) bán kính R=3.

- Vậy |z| đạt giá trị bé dại nhất khi và chỉ còn khi điểm M∈(C) với gần O nhất. Khi đó M là giao điểm của (C) và con đường thẳng OI, cùng với M là giao điểm gần O rộng và 

*